有理数知识点总结归纳（有理数及其运算知识点总结归纳）
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有理数总结知识点 急急急
有理数简介
整数、分数、有限小数、循环小数即可以用两个整数比表示的数统称【有理数】。像-1，-2.5，-4/3这样的数叫做【负数】，负数0；12.+5.4，+2/5这样的数叫做【正数】，正数小于0。0既不是正数也不是负数，它是正、负数的交界。正、负数在生活中有广泛应用，例：珠穆朗玛峰高8850米，记作+8850米；从银行取出400元，记作-400元。
人们常用画图把数直观化，用直线上的点表示数，这条直线就是【数轴】，0表示的地方叫做【原点】。
像-2 2，-4/5 4/5这样，只有符号不同的两个数叫【相反数】。0的相反数是它的本身。原点到一个数的距离是这个数的【绝对值】，负数的绝对值是它的相反数，正数和0的绝对值是它的本身。
正数0负数。负数相比较，绝对值大的小。
一个数加上a，等于减去-a：一个数减去a，等于加上-a。
有理数乘除法，【有奇数个负号结果是负数，有偶数个符号结果是正数，有一个0，结果是0.】
乘积是1的数互为【倒数】。
运算定律对所有有理数运算适用。
有理数概念的知识点有哪些
有理数：
(1)凡能写成q/p(p，q为整数且p不等于0)形式的数，都是有理数。正整数、0、负整数统称整数;正分数、负分数统称分数;整数和分数统称有理数。
注意：0即不是正数，也不是负数;-a不一定是负数， a也不一定是正数;p不是有理数;
(2)有理数的分类：
4.数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线。
5.相反数：
(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数;0的相反数还是0;
(2)相反数的和为0等价于a b=0等价于a、b互为相反数。
6.绝对值：
(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数;
注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离;
(2)绝对值可表示为：
绝对值的问题经常分类讨论;
7.有理数比大小：
(1)正数的绝对值越大，这个数越大;
(2)正数永远比0大，负数永远比0小;
(3)正数大于一切负数;
(4)两个负数比大小，绝对值大的反而小;
(5)数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大;
(6)大数-小数0，小数-大数0.
8.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数;
注意：0没有倒数;若a≠0，那么a的倒数是1/a;若ab=1等价于a、b互为倒数;若ab=-1等价于a、b互为负倒数。
9. 有理数加法法则：
(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加;
(2)异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值;
(3)一个数与0相加，仍得这个数。
10.有理数加法的运算律：
(1)加法的交换律：a b=b a ;
(2)加法的结合律：(a b) c=a (b c)。
11.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数;即a-b=a (-b)。
12.有理数乘法法则：
(1)两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘;
(2)任何数同零相乘都得零;
(3)几个数相乘，有一个因式为零，积为零;各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定。
13. 有理数乘法的运算律：
(1)乘法的交换律：ab=ba;
(2)乘法的结合律：(ab)c=a(bc);
(3)乘法的分配律：a(b c)=ab ac 。
14.有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数;注意：零不能做除数，即a/0无意义。
15.有理数乘方的法则：
(1)正数的任何次幂都是正数;
(2)负数的奇次幂是负数;负数的偶次幂是正数;注意：当n为正奇数时：(-a)n=-an或(a-b)n=-(b-a)n ，当n为正偶数时：(-a)n =an 或(a-b)n=(b-a)n 。
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初中有理数的知识点谁能告诉我？
正数 小学学过整数、分数（小数）的知识，即正有理数及0的知识，还学过用字母表示数。 将小学中的“算术数”扩充到有理数 ①理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小.
②借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含字母）.
③理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）.
④理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算.
⑤能运用有理数的运算解决简单的问题.
⑥能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断.
⑦了解整数指数幂的意义和基本性质，会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）.
负数 利用具有相反意义的量引入负数
有理数
数轴 为学习平面直角坐标系做准备；数形结合的初步认识及应用 通过描述位置的问题引出，并让学生通过温度计加深对数轴的认识，进而具体讲述
绝对值 借助数轴
相反数 借助数轴。分别利用几何意义和代数意义让学生理解
倒数 乘积为1的两个数 把倒数的范围扩充到有理数范围内 小学知识迁移
有理数加法法则 将两个数合并为一个数的运算 初中阶段运算的基础 首先通过实例明确有理数加法的意义；引入有理数加法的法则，接着举例说明小学阶段学过的加法运算律对有理数加法同样适用。在此基础上，从有理数减法的意义得出有理数减法法则。进一步根据减法法则，可以把加减法运算统一成加法。
有理数减法法则
有理数乘法法则 借助数轴研究有理数的乘法，引入有理数乘法的法则并通过例子说明，如何利用法则进行计算。然后从具体运算的例子出发，指出乘法的运算律对有理数同样适用。在乘法之后，从有理数除法的意义出发，结合具体例子引入有理数除法的法则，并通过例子说明如何利用法则进行计算。
有理数除法法则
乘方 在小学阶段接触过平方、立方 幂的运算的基础 幂函数的基础 结合计算正方形面积、正方体体积的实例引出乘方的概念
有理数混合运算 小学四则混合运算的顺序是基础 有理数的运算是数学中其他运算的基础，初中有理数运算在前两个学段的基础上增加了乘方的运算。也是后面有关整式运算的基础。 在复习小学阶段数的四则运算顺序的基础上，结合新学习的乘方，按照先乘方，再乘除，最后加减的运算顺序进行。
科学计数法 为较大数字和较小的数据的表示提供了一种更科学的方法
有理数（rational number)
读音:(yǒu lǐ shù)
整数和分数统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数m/n（m，n都是整数，且n≠0）的形式。
无限不循环小数和开根开不尽的数叫无理数 ,比如π，3.1415926535897932384626......
而有理数恰恰与它相反,整数和分数统称为有理数
包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。
这一定义在数的十进制和其他进位制（如二进制）下都适用。
数学上，有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比(ratio)，通常写作 a/b，故又称作分数。希腊文称为 λογος ，原意为“成比例的数”(rational number)，但中文翻译不恰当，逐渐变成“有道理的数”。不是有理数的实数遂称为无理数。
所有有理数的集合表示为 Q，有理数的小数部分有限或为循环。
有理数分为整数和分数
整数又分为正整数、负整数和0
分数又分为正分数、负分数
正整数和0又被称为自然数
如3，-98.11，5.72727272……，7/22都是有理数。
全体有理数构成一个集合，即有理数集，用粗体字母Q表示，较现代的一些数学书则用空心字母Q表示。
有理数集是实数集的子集。相关的内容见数系的扩张。
有理数集是一个域，即在其中可进行四则运算（0作除数除外），而且对于这些运算，以下的运算律成立（a、b、c等都表示任意的有理数）：
①加法的交换律 a+b=b+a；
②加法的结合律 a+(b+c)=(a+b)+c；
③存在数0，使 0+a=a+0=a；
④对任意有理数a，存在一个加法逆元，记作-a，使a+(-a)=(-a)+a=0；
⑤乘法的交换律 ab=ba；
⑥乘法的结合律 a(bc)=(ab)c；
⑦分配律 a(b+c)=ab+ac；
⑧存在乘法的单位元1≠0，使得对任意有理数a，1a=a1=a；
⑨对于不为0的有理数a，存在乘法逆元1/a，使a(1/a)=(1/a)a=1。
⑩0a＝0 文字解释：一个数乘0还于0。
此外，有理数是一个序域，即在其上存在一个次序关系≤。
有理数还是一个阿基米德域，即对有理数a和b，a≥0，b0，必可找到一个自然数n，使nba。由此不难推知，不存在最大的有理数。
值得一提的是有理数的名称。“有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有道理”。事实上，这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来，在英语中是rational number，而rational通常的意义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为ratio，就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）。所以这个词的意义也很显豁，就是整数的“比”。与之相对，“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理。
有理数加减混合运算
1.理数加减统一成加法的意义：
对于加减混合运算中的减法，我们可以根据有理数减法法则将减法转化为加法，这样就可将混合运算统一为加法运算，统一后的式子是几个正数或负数的和的形式，我们把这样的式子叫做代数和。
2.有理数加减混合运算的方法和步骤：
（1）运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。
（2）运用加法法则，加法交换律，加法结合律简便运算。
有理数范围内已有的绝对值，相反数等概念，在实数范围内有同样的意义。
一般情况下，有理数是这样分类的：
整数、分数；正数、负数和零；负有理数，非负有理数
整数和分数统称有理数,有理数可以用a/b的形式表达，其中a、b都是整数，且互质。我们日常经常使用有理数的。比如多少钱，多少斤等。
凡是不能用a/b形式表达的实数就是无理数，又叫无限不循环小数
一个困难的问题
有理数的边界在哪里？
根据定义，无限循环小数和有限小数（整数可认为是小数点后是0的小数），统称为有理数，无限不循环小数是无理数。
但人类不可能写出一个位数最多的有理数，对全地球人类，或比地球人更智慧的生物来说是有理数的数，对每个地球人来说，可能是无法知道它是有理数还是无理数了。因此有理数和无理数的边界，竟然紧靠无理数，任何两个十分接近的无理数中间，都可以加入无穷多的有理数，反之也成立。
竟然没有人知道有理数的边界，或者说有理数的边界是无限接近无理数的。
定理：位数最多的非无限循环有理数是不可能被写出的，尽管它的定义是有有限位，但它是无限趋近于无理数的，以致于没有手段进行判断。
证明：假设位数最多的非无限循环有理数被写出，我们在这个数的最后再加一位，这个数还是有限位有理数，但位数比已写出有理数多一位，证明原来写出的不是位数最多的非无限循环有理数。所以位数最多的非无限循环有理数是不可能被写出的。
关于无理数与有理数无法比较的说明：
对于定义无限不循环小数是无理数，无理数之外为有理数。则无理数很难被证实，而每一个无理数，无论认识多少位，都有有理数对应，而位数较短的有理数，都没有无理数对应，因此有理数多。
对于定义为有限位小数和无限循环小数为有理数，无限不循环数为无理数。对于很多位数多的无法分辨的数没有明确归属，而认为大于特定有限位的数都是无理数的人，才能证明无理数比有理数多，但那明显是将很多很多有理数归为无理数的结果。在这个定义下，由于界限不明，无法进行比较，除非有人能有力的证明。
无限不循环小数不是有理数，如：
0.10100100010000100000......
0.1200000012000012000000120000......
π
等是无限不循环小数，所以不是有理数
循环小数化分数的方法
0.777777......
有一个数循环，分母是一个9，循环数是7.化分数后是7/9
0.535353......
有两个数循环，分母是两个9，循环数是53.化分数后是53/99
我们可以在数轴上表示有理数.注意画数轴的三要素(原点,正方向,单位长度).
有理数相关知识点
1 有理数的意义
（1）有理数 整数和分数统称为有理数．
（2）有理数的分类
注意：①零既不是正数,也不是负数,它是一个中性数,是正负数的分界点．②自然数：在本教材中自然数是0和正整数．即0,1,2,3,4,…
2 几个概念
（1）数轴
①原点、正方向、单位长度是数轴的三要素,缺一不可．
②数轴的用途
用数轴表示数：所有的实数都可以用数轴上的点来表示,数轴上的任一点都表示一个实数,实数和数轴上的点是一一对应的．
用数轴可以比较两个数的大小．
②相反数
①定义：只有符合不同的两个数,其中一个是另一个的相反数,0的相反数是0．
②特点：相反数是两个数之间的一种相互关系,是成对出现的,缺一不可．
③性质：
1°．任何一个数都有一个相反数,并且只有一个相反数．
2°．正数的相反数是负数,负数的相反数是正数,0的相反数是0．
3°．互为相反数的两个数之和为0,反过来,和为0的两个数互为相反数．
④求法：求一个数的相反数只需在这个数前面加一个负号就可以．
（3）绝对值
①几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离,数a的绝对值记作|a|．
②代数意义：
正数的绝对值是它本身．负数的绝对值是它的相反数．零的绝对值是0
如：|＋4|＝4,|－2 |＝2
③数a的绝对值的表示：|a|＝
（4）有效数字
①精确度：一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位．
②定义：在近似数中,从左边第一个不是零的数字起,到由四舍五入到的数位止．所有的数字,都叫做这个数的有效数字．一共包含的数字的个数,叫做有效数字的个数．
③用法：在对一个数取近似数时,近似程度经常用保留几个有效数字来表示．
（5）科学记数法
把一个数写成±a×10n的形式（其中1≤a＜10,n是整数）,这种记数法叫科学记数法,具体记数的方法为：
①a是只有一位整数的数；
②当原数≥1时,n是正整数,n等于原数的整数位数减1,如31400＝3.14×104；
当原数＜1时,n是负整数,它的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位上的零）,如0.000035＝3.5×10－5
3 有理数的运算
（1）加法：
有理数的加法法则
（2）减法：
减法法则用式子可表示为：a－b＝a＋（－b）．即减去一个数等于加上这个数的相反数．
（3）乘法：
乘法法则
注意：①1×a＝a
②－1×a＝－a
③多个非零数相乘时,先确定积的符号,再进行相乘．
（4）除法
除法法则用武子可表示为：a÷b（b≠0）＝a× ,即除以一个数等于乘以这个数的倒数．
注意：①a÷b＝
②a÷bc＝a÷（bc）＝
③a÷b×c＝ ×c＝
④a÷（b＋c）＝
（5）乘方
①乘方的意义 求n个相同因数积的运算,叫乘方,乘方的结果叫做幂．
②乘方的符号法则：
正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数．
规定：0的任何正整数次幂都是0,不为0的数的零次幂都是1．
（6）混合运算：
①有理数的加减、乘除、乘方的运算符号、结果、级别如下表：
②运算顺序
在进行有理数的混合运算时,要先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号里面的．
在同一级运算中,一般按照从左到右（或从前往后）的顺序进行计算．
③在混合运算中要灵活运用运算律,可以极大的简化运算过程,同时注意选用多种求解方法中的最简方法．
